正则系综

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正则系综 (canonical ensemble)是统计力学中系综的一种。它代表了许多具有相同温度的体系的集合。正则系综是最普遍应用的系综。

通常，系综内每个体系的粒子数和体积都是相同的。但每个体系都可以和系综内其他体系交换能量。同时系综里所有体系的能量总和，以及所有体系的总个数是固定的。在这些条件下，当系综内所有体系被分配到不同的微观态上，我们发现：每个微观态上的体系个数正比于 $LaTeX: \exp(-\beta E)\,$ 。其中 $LaTeX: \beta =1/k_B T\,$ ， $LaTeX: k_B\,$ 是玻尔兹曼常数， $LaTeX: T\,$ 是绝对温度。

正则系综的配分函数， $LaTeX: Z \,$ ，是：

$LaTeX: Z(\beta) = \sum \exp(-\beta E) \,$ （1）

其中：

$LaTeX: \beta = \frac{1}{k_BT}$

可以证明，配分函数的对数就是亥姆霍兹自由能（Helmholtz free energy，符号 $LaTeX: F\,$ ），F(T,V,N)可视为正则系综的特征函数，其统计表示式（1）是正则系综的基本公式之一。

$LaTeX: F = -k_B T \ln Z \,$

或

$LaTeX: F = -\beta^{-1} \ln Z \,$

由上式可得到内能U、熵S和压强p的表示式。

内能：

$LaTeX: [ \frac{\partial}{\partial\beta}(\beta F) ]_{V,N} = - \frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z = \frac{1}{Z}\sum_{j}E_je^{-\beta E_j}$

或

$LaTeX: U = \langle E \rangle = - \frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z = k_BT^2\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}$

熵：

$LaTeX: S = -(\frac{\partial F}{\partial T})_{V,N} = k_B \ln Z + k_BT\frac{\partial \ln Z}{\partial T}$

或

$LaTeX: S = -k_B \sum_{j}w_j \ln w_j = -k_B \langle \ln w_j \rangle$

式中 $LaTeX: w_j$ 是正则分布。

压强：

$LaTeX: P = -(\frac{\partial F}{\partial V})_{T,N} = k_BT\frac{\partial \ln Z}{\partial V}$

参考文献

中文维基百科：正则系综
奇迹百科. 正则系综的热力学函数. [EB/OL]. [2011-05-05]. http://www.qiji.cn/baike/Detailed/20496.html.

李政道. 李政道讲义：统计力学[M]:上海科学技术出版社,2006.[2011-05-05]. ISBN:9787532384495.

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